krang84 6:44 am le January 31, 2013
Tags : suites ; limites

Une première idée de la notion de limite

Soit la suite $u_n= \frac{2n+1}{n+2}$ définie pour tout entier n
1) Montrons que pour tout entier n : $0 < u_n < 2$
2)Montrons que la suite $u_n$ est strictement croissante
3) Résoudre L’inéquation $u_n > 1.999$

1) Soit n un entier naturel , montrons que $u_n >0$
On a $2n+1 >0$ et $n+2 > 0$ donc par la règle des signes on a $u_n >0$
Montrons que $u_n < 2$ cela revient à montrer que $u_n - 2 < 0$
Calculons donc $u_n -2$ on $u_n - 2 = \frac{2n+1}{n+2} - 2 = \frac{2n+1}{n+2} - 2* \frac{n+2}{n+2} = \frac{2n+1 -2(n+2)}{n+2}= \frac{-3}{n+2}$ or $\frac{-3}{n+2} < 0$ d'ou $u_n -2 <0$ pour tout n .
On a donc bien pour tout n : $0 < u_n < 2$

Remarque Pour n = 1 000 000 000 on a $u_{1000000000} < 2$
Cela veut dire que n peut être aussi grand que l'on veut , $u_n$ sera toujours strictement inférieur à 2 .

2) Soit n un entier naturel , on a : $u_{n+1}-u_n = \frac{2(n+1)+1}{(n+1)+2} - \frac{2n+1}{n+2}= \frac{2}{n+2}$ or $\frac{2}{n+2} > 0$ pour tout n , donc $u_{n+1}-u_n > 0$ et donc la suite est strictement croissante

3) a) Soit n un entier naturel on a $\frac{2n+1}{n+2} > 1.999$ qui est équivalent aussi à $2n+1 > 1.999(n+2)$ équivalent à $2n+1 > 1.999n + 3.998$ équivalent à $2n-1.998n > 3.998-1$ équivalent $0.001n > 2.998$ équivalent $n > \frac{2.998}{0.001}$ équivalent $n > 2998$

Remarque : On verra plus tard que $\lim_{n \rightarrow + \infty} u_n=2$

#suites-limites

krang84 6:52 am le January 30, 2013

Exemple

Soit la suite $u_n$ définie explicitement par $u_n= \frac{n}{n^2+1}$ définie pour tout $n \geq 1$
1) Soit la fonction f définie sur $[ 1, + \infty [$ par $f(x)= \frac{x}{x^2+1}$
a) Calculons la dérivée $f'(x)$ de f sur $[ 1 , + \infty [$
b) b.1) Quel est le signe de $(1-x)(1+x)$ sur $[ 1 , + \infty [$
b.2) Quel est le signe de $f'(x)$ sur $[1 , + \infty [$
2) Déduire le sens de variation de $(u_n)$

krang84 7:50 am le January 29, 2013
Tags : suites ; croissance ; monotonie

Fonctions monotones impliquant des suites monotones

Soit $n_0$ un entier naturel.
Hypothèse : Soit f une fonction croissante définie sur $[ n_0 , + \infty [$ et soit la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ définie par $u_n=f(n)$ est
Conséquence : Alors la suite est croissante

Démonstration en exercice :
La suite est définie explicitement par $u_n=f(n)$ et est définie à partir de $n_0$
Soit $n \geq n_0$
1) Montrons que $n \in [ n_0 , + \infty [$ et $n+1 \in [ n_0 , + \infty [$
2) En partant de $n+1 \geq n$ expliquer pourquoi $f(n+1) \geq f(n)$
3) En déduire que $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n \geq n_0$
4) Déduire la monotonie de la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$

#suites-croissance-monotonie

krang84 12:31 pm le January 28, 2013
Tags : suites ; croissante

Proposition sur les suites croissantes et décroissantes

Hypothèse : Soit $(u_n)$ une suite croissante et n et p deux entiers naturels
Si $n \geq p$ ALORS $u_n \geq u_p$

Un petit lemme : Soit n et p deux entier tels que $n \geq p$ . Il existe un entier k tel que $n=k+p$

Démonstration :
Soit $n \geq p$ , je veux montrer que si $n \geq p$ alors $u_n \geq u_p$ .
On a $u_{p+1} \geq u_p$ (par croissance de la suite) de même $u_{p+3} \geq u_{p+2}$ ….. jusqu’à $u_{p+k}=u_n \geq u_{p+(k-1)}$ .
D’où l’on a $u_n=u_{p+k} \geq u_{p+(k-1)} \geq u_{p+(k-2)} \geq ... \geq u_{p+1} \geq u_p$ ou encore $u_n \geq u_p$ ce que l’on voulait démontrer .

Hypothèse : Soit $(u_n)$ une suite décroissante et n et p deux entiers naturels
Si $n \geq p$ ALORS $u_n \leq u_p$

Démonstration :
Soit $n \geq p$ , je veux montrer que si $n \geq p$ alors $u_n \leq u_p$ .
On a $u_{p+1} \leq u_p$ (par décroissance de la suite) de même $u_{p+3} \leq u_{p+2}$ ….. jusqu’à $u_{p+k}=u_n \leq u_{p+(k-1)}$ .
D’où l’on a $u_n=u_{p+k} \leq u_{p+(k-1)} \leq u_{p+(k-2)} \leq ... \leq u_{p+1} \leq u_p$ ou encore $u_n \leq u_p$ ce que l’on voulait démontrer .

#suites-croissante

krang84 6:35 am le January 28, 2013
Tags : Suites ; stricte monotonie

Stricte monotonie

Soit $(u_n)$ une suite réel .
Si $u_{n} < u_{n+1}$ pour tout n , la suite est strictement croissante
Si $u_{n+1} < u_n$ pour tout n , la suite est strictement décroissante

#suites-stricte-monotonie

krang84 6:24 am le January 28, 2013
Tags : Suite ; monotonie ; décroissance

Etude d’une suite

Soit la suite $(u_n)$ définie explicitement par : $u_n= \frac{n}{n^2+1}$ définie pour tout n supérieur ou égal à 1.
1.a)Calculons et donnons une valeur approchée aux 5 premiers termes de la suite
b) Conjecturons sur la monotonie de la suite
2.a) Calculons $u_{n+1}$
b) Etudions le signe de $-n^2-n+1$ pour n supérieur ou égal à 1
3.a)Calculons $u_{n+1}-u_n$
b) Déduire la monotonie de la suite

#suite-monotonie-decroissance

krang84 2:55 pm le January 27, 2013
Tags : Suite

Exemple de suite ni croissante ni décroissante

Soit la suite $u_n=(-1)^n$ définie pour tout entier naturel n .
On a $u_0=(-1)^0=1$ et $u_1=(-1)^1=-1$ , $u_2=(-1)^2=1$ $u_3=(-1)^3=-1$ .
La suite $u_n=(-1)^n$ n’est ni croissante ni décroissante donc ni monotone .

#suite

krang84 2:32 pm le January 27, 2013
Tags : Suite ; Monotonie

Définition d’une suite monotone

Une suite croissante ou décroissante est une suite monotone .

#suite-monotonie

krang84 7:28 am le January 26, 2013
Tags : Suite ; décroissance

Un exemple de suite décroissante

Soit la suite $(u_n)$ définie explicitement par $u_n = \frac{1}{n}$
1) A partir de quel rang cette suite est-elle définie ?
2) Calculer $u_{n+1}$
3) Calculer $u_{n+1}-u_n$
4) Déduisez que la suite est strictement décroissante

1) La suite $u_n$ est définie si et seulement si n est différent de 0 . Elle est donc définie à partir du rang (ou indice ) 1 . Ce que l’on note aussi $(u_n)_{n \geq 1 }$
2) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. On a $u_{n+1} = \frac{1}{n+1}$
3) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1 . On a $u_{n+1}-u_n= \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = \frac{n}{n*(n+1)} - \frac{n+1}{(n+1)*n}=\frac{-1}{n*(n+1)}$
4) Soit n un entier supérieur ou égal à 1 , on a $u_{n+1}-u_n < 0$ donc la suite est strictement décroissante .