krang84 9:20 am le January 27, 2017

Exercice 3

Soit f la fonction définie par $f(x)= 1+x+\sqrt{x^2+9}$

1° f est définie si et seulement $x^2+9 \geqslant 0$ or $x^2+9 > 0$ pour tour réel x, d’ou $D_f= \mathbb{R}$

2° on a $\lim_{x \rightarrow +\infty } 1+x= +\infty$ et $\lim_{x \rightarrow +\infty } x^2+9= +\infty$ d’ou par composition $\lim_{X \rightarrow +\infty } = \sqrt{X}=+\infty$

On a une forme indéterminée $+ \infty - \infty$ en $- \infty$
passons à la forme conjuguée en multipliant par $1+x- \sqrt{x^2+9}$ d’ou $f(x)= \frac{2x-8}{1+x-\sqrt{x^2+9}}$ d’ou en factorisant par x on $\lim_{x \rightarrow -\infty } (\frac{1}{x}+1+ \sqrt{1+\frac{9}{x^2}})=2$ et $\lim_{x \rightarrow -\infty } (2 - \frac{8}{x}) = 2$ d’ou par quotient $\lim_{x \rightarrow -\infty } f(x)= \frac{2}{2}=1$

krang84 3:31 pm le January 26, 2017

Exercice 2 Partie B

1° Ils se partagent chacun 40 véhicules.
7 voitures classiques chacun, 1 camion de pompiers chacun, 15 voitures de gendarmerie chacun et 17 tracteurs chacun.

2° Soit la variable aléatoire correspondant au nombre de véhicules du frère aîné à la fin du jeu. On a

X=80, si il pioche le camion de pompier avec la probabilité $\frac{1}{40}$
X=41 si il pioche un tracteur avec la probabilité $\frac{17}{40}$
X=44 si il pioche une voiture de gendarmerie et 3 véhicules de son choix avec une probabilité $\frac{15}{40}$
X=35 si il pioche une voiture classique avec une probabilité $\frac{7}{40}$

3° On a $E(X)= \frac{1}{40}(80*1+41*17+44*15+35*7)=42.05$

4° On a $E(X) >0$ d’ou le gain est largement positif, il a intérêt à jouer (aussi son espérance est supérieur à celui de son petit frère qui est de 37.95)

5° J’ai compris dans ce sens, on ne peut changer les autres règles sauf celle de l’attribution du nombre de voitures classiques ? il faut donc trouver le nombre n de voitures qu’il gagnerait qui ferait donner une espérance égale au moins à celle de son grand frère 42.05.
On doit donc résoudre $\frac{1}{40} (39*17+36*15+(40+n)*7)=42.05$ soit n=28.42, le petit frère devra récupérer au moins 29 voitures pour avoir la même espérance que son frère et plus pour avoir un avantage sur lui.

krang84 2:26 pm le January 26, 2017

Exercice 2 Partie A

1° maths_proba_insee 2° a) le véhicule tiré est rouge, $P(R)=\frac{1}{4}$
b) On a l’événement $P(C \cap R) = P(R) * P_R(C) = \frac{1}{4} * \frac{7}{10} = \frac{7}{40}$
c) Le véhicule est un tracteur, $P(T)= P(T \cap R)+ P(T \cap B) = \frac{2}{10} * \frac{1}{4} + \frac{5}{10}* \frac{3}{4} = \frac{17}{40}$
d) Le véhicule tiré est rouge sachant que c’est un tracteur, $P_T(R) = \frac{P(T \cap R)}{P(T)} = \frac{\frac{2}{40}}{\frac{17}{40}}=\frac{2}{17}$

e) le véhicule tiré est rouge sachant que c’est un camion de pompier, $P_P(R)= \frac{P(P \cap R)}{P(P)} = 1$

krang84 10:07 am le January 26, 2017

Exercice 1 contrôleur INSEE 2017

En probabilité, la répétition de manière indépendante d’une expérience correspond à un schéma de Bernoulli
Dans une expérience aléatoire, la probabilité d’un événement est égale à $\frac{2}{10}$ . On répète six fois cette expérience de façon indépendante. La probabilité sur l’événement se réalise au moins une fois est égale à : $P( X \geqslant 1) =1- \binom{6}{0} (0.2)^0(0.8)^6= 1-(0.8)^6$
L’équation $ln(2x-2)=ln(1-2x)$ elle est définie si et seulement si $x >1$ et $x< \frac{1}{2}$ . Elle n’a donc aucune solution
L’expression $e^{1-2x}e^{2x}=e^{1-2x+2x}=e^{1}=e$
Soit $[a; + \infty[$ n et m deux nombres entiers positifs, $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$
La fonction $x^2$ n’est pas strictement monotone sur l’intervalle $[-1;1]$ il n’y a donc pas de bijection possible
On peut prendre pour contre-exemple x=1/2 et donc x^2=1/4 d’ou x^2 < x d’ou c’est faux
On a $g \circ f(x) =g(f(x))=f(x)$ et $f \circ g(x)= f(g(x))= f(x)$ d’ou c’est vrai.