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krang84 3:52 pm le January 23, 2017  

Développement limité d’ordre 2 de la fonction exponentielle

Exercice d’apprentissage :

1° a) Soit t \in [-1;1] montrons que e^{-1} \leqslant e^t \leqslant e^1 .
b) Soit x \in [-1;1] en intégrant de 0 à x  montrons que \frac{x}{e} \leqslant e^x-1 \leqslant ex .
c) Soit t \in [-1;1] en intégrant de nouveau de 0 à t montrons que \frac{t^2}{2e} \leqslant e^t -t -1 \leqslant \frac{et^2}{2} .
d) Soit x \in [-1;1] en intégrant de 0 à x, montrons que \frac{x^3}{6e} \leqslant e^x - \frac{x^2}{2} -x - 1 \leqslant \frac{ex^3}{6}

2° a) Soit x différent de 0, on pose \epsilon(x)= \frac{e^x-(\frac{x^2}{2}+x+1)}{x^2} montrons que \frac{x}{6e} \leqslant \epsilon(x) \leqslant \frac{ex}{6}
b) En utilisant le théorème des gendarmes, montrons que \lim_{t \rightarrow 0} \epsilon(t)=0

3° Donner le développement limité d’ordre 2 de la fonction exponentielle

1°a) Soit t \in [-1;1] on a donc -1 \leqslant t \leqslant 1, or la fonction exponentielle est croissante sur \mathbb{R} d’ou e^{-1} \leqslant e^t \leqslant e^1 .
b) Soit x \in [-1;1] on a \int_{0}^{x} e^{-1}dt \leqslant \int_{0}^{x} e^{t} dt\leqslant \int_{0}^{x} e^{1}dt d’ou e^{-1} [t]_{0}^{x} \leqslant [e^t]_{0}^{x} \leqslant e^1 [t]_{0}^{x} enfin \frac{x}{e} \leqslant e^x - e^0 \leqslant ex d’ou \frac{x}{e} \leqslant e^x-1 \leqslant ex .
c) Soit t \in [-1;1] on a \int_{0}^{t} \frac{x}{e} dx \leqslant \int_{0}^{t} e^x-1 dx \leqslant \int_{0}^{t} ex dx soit \frac{1}{e} [\frac{x^2}{2}]_{0}^{t} \leqslant  [e^x]_{0}^{t} -[t]_{0}^{t} \leqslant e[\frac{x^2}{2}]_{0}^{t} soit \frac{t^2}{2e} \leqslant e^t -t -1 \leqslant \frac{et^2}{2}
d)  Soit x \in [-1;1] on a \int_{0}^{x} \frac{t^2}{2e} dt \leqslant \int_{0}^{x} e^t-t-1 dt \leqslant \int_{0}^{x} \frac{et^2}{2} dt soit  \frac{1}{2e} [\frac{t^3}{3}]_{0}^{x} \leqslant  [e^t]_{0}^{x} -[\frac{t^2}{2}]_{0}^{x}-[t]_{0}^{x} \leqslant \frac{e}{2}[\frac{t^3}{3}]_{0}^{x} d’ou \frac{x^3}{6e} \leqslant e^x - \frac{x^2}{2} -x - 1 \leqslant \frac{ex^3}{6}

2° a) Puisque x est différent de 0, on multiplie tout par \frac{1}{x^2} >0 d’ou

\frac{x}{6e} \leqslant  \frac{e^x-(\frac{x^2}{2}+x+1)}{x^2} \leqslant \frac{ex}{6} d’ou \frac{x}{6e} \leqslant \epsilon(x) \leqslant \frac{ex}{6}

b) On \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x}{6e} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ex}{6} = 0 d’après le théorème des gendarmes / encadrement on a \lim_{x \rightarrow 0} \epsilon(x) = 0

c) On a \epsilon(x)= \frac{e^x-(\frac{x^2}{2}+x+1)}{x^2} d’ou \epsilon(x)x^2 + \frac{x^2}{2} +x+1= e^x avec \lim_{x \rightarrow 0} \epsilon(x) =0 c’est donc le développement limité de exponentielle à l’ordre 2 en 0 \forall x \in [-1;0 [ \cup ]0;1]

krang84 9:57 am le January 23, 2017
Tags : essentiel   

Développement limité de la fonction exponentielle [Retenir l’essentiel]

Définition : Fonction défninie au voisinage de 0

Il existe un intervalle de la forme ]- \alpha ; \alpha [ avec \alpha > 0 dans l’ensemble de définition de la fonction.

Définition : Nombre dérivé en 0

Soit f une fonction définie continue dans un voisinage de 0 contenant 0.
f est dérivable en 0 si et seulement si \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} est finie.
Cette limite notée f'(0) est appelée nombre dérivé de f en 0, et on écrit

\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0) ou

f(x) = f(0)+ xf'(0) + x\epsilon(x) avec \lim_{x \rightarrow 0} \epsilon(x) =0

Propriété de la fonction exponentielle :

Soit la fonction f(x)=e^x définie sur \mathbb{R} . Elle est dérivable indéfiniment sur \mathbb{R}

Exercice d’apprentissage :

1° a) Donner la définition du nombre dérivé d’une fonction f en 0
b) Appliquer cette définition pour f(x)=e^x .
2° Donner le développement limité d’ordre 1 au voisinage de 0 de f(x)=e^x .

1° a) La définition d’un nombre dérivé d’une fonction f en 0 est \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0) ce qui s’écrit encore f(x) = f(0)+ xf'(0) + x\epsilon(x) avec \lim_{x \rightarrow 0} \epsilon(x) =0

b) On a donc f(0)=e^0=1 et f'(0)=e^0=1 d’où f(x)= 1 + x + x\epsilon(x) avec \lim_{x \rightarrow 0} \epsilon(x) =0

2° Le développement limité d’ordre 1 au voisinage de 0 de f(x)=e^x  est f(x)= 1 + x + x\epsilon(x) avec \lim_{x \rightarrow 0} \epsilon(x) =0

 

#essentiel

krang84 6:33 pm le January 17, 2017  

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