krang84 1:22 pm le February 24, 2013

Suite géométrique et sens de variation

Soit $u_n$ une suite géométrique de premier terme non nul et de raison q différent de 1 .Cette suite est :
i) monotone si $q >0$
ii) non monotone si $q <0$

Démonstration

Soit $u_n$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ non nul et de raison q différent de 1.
Suite géométrique ou pas , soit n un entier calculons son sens de variation par $u_{n+1}-u_n$ .
Pour tout entier n , $u_n$ s’écrit $u_n=u_0*q^n$ d’où $u_{n+1}=u_0*q^{n+1}$ .
Pour tout entier n on a $u_{n+1}-u_n=u_0*q^{n+1}-u_0*q^n$
en factorisant par $u_0*q^n$ , $u_{n+1}-u_n=u_0*q^n*(q-1)$
Le sens de variation de la suite dépend donc du signe de $u_0*q^n*(q-1)$ . héhé
i) Si $q > 0$ , on a pour tout n $q^n > 0$ donc le signe de $u_{n+1}-u_n$ est le signe de $u_0*(q-1)$ ok ?
Or cette expression $u_0*(q-1)$ est la multiplication de deux constantes , ils sont indépendants de la valeur de n , ils garderont toujours le même signe . suivez-vous moi toujours ?
S’il est positif (resp.négatif), la suite sera croissante (resp. décroissante) .
Bref , une suite croissante ou décroissante est une suite monotone .
:p
ii) Si $q<0$ , le signe de $q^n$ dépend de la parité de n . En effet si n est pair $q^n$ est positif et si n est impair $q^n$ est négatif.
Comme $u_0*(q-1) \not= 0$ , le signe de $u_{n+1}-u_n$ change suivant la parité de n .
On a donc par exemple , $u_{n+1} > u_n$ et juste après $u_{n+2} < u_{n+1}$ cette suite n'est donc ni croissante , ni décroissante donc non monotone .

krang84 7:30 am le February 18, 2013

Somme d’une suite géométrique

Soit $u_n$ une suite géométrique de raison q différent de 1 et de premier $u_0=1$ alors la somme de ses n premiers termes vaut :
$u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}$

Démonstration

Soit $u_n$ une suite géométrique de raison q différent de 1 et de premier $u_0=1$ , la suite s’écrit donc $u_n = u_0 * q^n = 1 * q^n =q^n$ pour tout entier n .
Notons S la somme des n premiers termes de la suite :
$S= u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_{n-1}$
d’ou $S=1+q+q^2+q^3+...+q^{n-1}$
Multiplions la meme somme par q ce qui donne $qS=q+q^2+q^3+q^4+...+q^n$
Soustrayons S-qS ce qui donne $S-qS=1+q+q^2+q^3+...+q^{n-1}-(q+q^2+q^3+q^4+...+q^n)$
d’ou $S-qS=1-q^n$
cad $S*(1-q)=1-q^n$
enfin $S=\frac{1-q^n}{1-q}$ division permise car q est différent de 1 (hypothèse) .

krang84 11:56 am le February 14, 2013

Une formule sur une suite géométrique

Soit $u_n$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison q .
Soient n et p deux entiers .
Pour tous n et p on a $u_n=u_p*q^{n-p}$

Démonstration

Soit $u_n$ une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison q .
Soient n et p deux entiers .
Nous devons distinguer trois cas :
1) n > p
Il existe un entier k tel que $n=p+k$
On a $u_{p+1}=q*u_p$
aussi $u_{p+2}=q*u_{p+1}=q*(q*u_p)=q^2*u_p$
aussi $u_{p+3}=q*u_{p+2}=q*(q^2*u_p)=q^3*u_p$
etc …..
aussi $u_{p}=q*u_{p+(k-1)}=q*(q^{k-1}*u_p)=q^k*u_p$ or $k=n-p$ d’ou
$u_n=u_p*q^{n-p}$
2) p > n
On applique la formule vu dans le cas 1)
d’ou $u_p=u_n*q^{p-n}$ or $q^{p-n}= \frac{1}{q^{n-p}}$
d’où $u_p=u_n*\frac{1}{q^{n-p}}$ .
Enfin on a $q^{n-p}*u_p=u_n$
3) $p=n$
On a l’égalité triviale suivante : $u_n=u_{n=p}*q^{n-n=0}=u_n*1=u_n$

krang84 7:17 am le February 13, 2013

Suite géométrique

Soit $(u_n)$ une suite .
S’il existe un nombre q tel que , pour tout n , $u_{n+1}=u_n *q$
alors la suite $u_n$ s’appelle suite géométrique

krang84 6:37 am le February 13, 2013

Sens de variation d’une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$
i) Si $r \geq 0$ alors la suite est croissante
ii) Si $r \leq 0$ alors la suite est décroissante
iii) Si $r=0$ alors la suite est stationnaire

Démonstration
Soit $u_n$ une suite arithmétique de raison r
Pour tout entier n , elle s’écrit donc : $u_{n+1}=u_n+r$
Calculer son sens de variation revient à calculer $u_{n+1}-u_n=r$
Le sens de variation de la suite dépend donc du signe de r .
i) Si $r \geq 0$ on a $u_{n+1}-u_n \geq 0$ donc la suite $(u_n)$ est croissante
ii) Si $r \leq 0$ on a $u_{n+1}-u_n \leq 0$ donc la suite $(u_n)$ est décroissante
iii) Si $r=0$ on a $u_{n+1}-u_n=0$ soit encore $u_{n+1}=u_n$ pour tout n et la suite est stationnaire .

krang84 12:13 pm le February 10, 2013

Une autre propriété d’une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique .
On a pour tout entier n , $u_{n+1}= \frac{u_n+u_{n+2}}{2}$

Démonstration

Soit $n \geq n_0$
Soit $u_{n_0}$ le premier terme de $u_n$
$u_n$ étant une suite arithmétique , il s’écrit : $u_n=u_{n_0}+ nr$
On a $u_{n+1}=u_{n_{0}}+(n+1)r=u_{n_0}+nr +r = u_n+r$
De même $u_{n+2}=u_{n_0}+(n+2)r=u_{n_0}+nr +2r =u_n+r+r=u_{n+1}+r$
$u_{n+1}$ peut s’écrire de deux façons
1) $u_{n+1}=u_n+r$
2) $u_{n+1}=u_{n+2}-r$
En additionnant cela donne $u_{n+1}+u_{n+1}=(u_n+r)+(u_{n+2}-r)=u_n+u_{n+2}$ d’ou $u_{n+1}=\frac{u_n+u_{n+2}}{2}$

krang84 11:45 am le February 10, 2013

Somme d’une suite arithmétique

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme $u_0 = 1$ .
Le somme de ses n premiers termes vaut :
$u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + ... + u_{n-1}= \frac{n(n+1)}{2}$

Démonstration :

Soit $u_n$ suite arithmétique de raison 1 et de premier terme $u_0=1$ .
On a $u_0=1 \ u_1 = 1 + 1 =2 \ u_2 = 1+2=3 \ ... \ u_{n-1}=1+(n-1)=n$
Notons S la somme de ces n termes .
L’idée – de Gauss – serait d’écrire de deux façons différentes cette somme et de les additionner .
$S= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-3) + (n-2) + (n-1) +n$
$S= n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + (n-4) + ... + 2 + 1$
En ajoutant ces deux sommes : $S+S = (1+n) +(2 + (n-1)) + (3+(n-2)) + (4+(n-3)) + .... + ((n-1)+2) + (n+1)$
En dehors des deux $(n+1)$ chaque somme est de la forme $(k+1+(n-k))=n+1$ d’ou $S+S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+...+(n+1)$ Il y’a n fois (n+1) d’ou $2S=n * (n+1)$
Enfin on a donc $S= \frac{n(n+1)}{2}$ ouf !!!!

krang84 7:50 am le February 5, 2013

Une propriété d’une suite arithmétique

Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite arithmétique de raison $r$
Pour tout entier n et tout entier p , on a $u_n= u_p + (n-p)r$

Démonstration
Soient n et p deux entiers supérieurs ou égales à $n_0$ .
Il existe trois cas entre n et p :
1) n > p
2) n < p
3 n=p
1) Supposons que $n > p$ , on a vu d’après un lemme précédent qu’il existe un entier k tel que $n=p+k$ Par hypothèse $(u_n)$ est une suite arithmétique on a donc $u_{p+1}=u_p + r$ de même $u_{p+2}=u_{p+1} +r=u_p+r+r=u_p+2r$ aussi $u_{p+3}=u_{p+2}+r=(u_p+2r)+r=u_p+3r$ … jusqu’à $u_{p+(k-1)}=u_{p} +(k-1)r$ et $u_{p+k=n}=u_p+kr$ or $k=n-p$ d’ou $u_n=u_p+(n-p)r$

2) Supposons que $n <p$ , en appliquant le cas 1) on a donc $u_p=u_n + (p-n)r$ d’ou $u_n=u_p-(p-n)r$ d’ou $u_n=u_p+(n-p)r$

3) Si $n=p$ la relation est triviale , elle vérifie bien $u_n=u_{n=p}+(n-n=p)r=u_n$

krang84 1:14 pm le February 4, 2013
Tags : Suites ; arithmétique

Suite arithmétique

Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite définie pour n supérieur ou égal à $n_0$
Si il existe un nombre r tel que , pour tout $n \geq n_0 \ u_{n+1}=u_n+r$ la suite s’appelle suite arithmétique
Le réel r s’appelle la raison de la suite .