Theoreme : Une suite croissante non majorée a pour limite
Preuve :
Question préliminaire : Quelles sont les deux hypothèses du théorème ?
Une preuve utilise toujours tous les hypothèses du théorème [dixit mon prof de maths de première année].
Le but est de montrer que quel que soit l’intervalle tous les termes de la suite seront dans cet intervalle à partir d’un rang . OK !!
Il faut donc i) prouver que cad
ii) cette relation i) elle s’établit toujours à partir d’un rang (que l’on nommera )
1)a) Exprimons le fait que la suite ne soit pas majoré.
Ceci est l’hypothèse 1 : La suite n’est pas majorée .
Que cela veut-il dire ?
Cela veut dire que pour tout entier n , n’est majoré par aucun nombre .
Attendez ? Je prends un nombre très grand = K , il se peut que pour des petites valeurs de n on ait mais je suis sur qu’il existe un rang à partir duquel on ait .
Un nombre ? Prenons A par exemple 🙂
Notre petite explication se résume ainsi :
Il existe un entier tel que .
On tient [presque] notre i) .
Maintenant on veut que pour tout n ,
Notre relation i) est vrai que pour les entiers supérieurs à
Soit donc un n un entier supérieur ou égal à .
Ici intervient notre deuxième hypothèse : la suite est croissante d’ou ,
.
On y est .
On a un pris un intervalle au hasard de type et l’on a montre qu’il existait un rang n à partir duquel l’on a .
Conclusion : Une suite majorée et croissante tend vers l’infini .