juin | 2013 | Mathématiques

Theoreme : Une suite croissante non majorée a pour limite $+ \infty$

Preuve :
Question préliminaire : Quelles sont les deux hypothèses du théorème ?
Une preuve utilise toujours tous les hypothèses du théorème [dixit mon prof de maths de première année].

Le but est de montrer que quel que soit l’intervalle $[A , + \infty [$ tous les termes de la suite seront dans cet intervalle à partir d’un rang . OK !!

Il faut donc i) prouver que $u_n \in [A; + \infty [$ cad $u_n > A$
ii) cette relation i) elle s’établit toujours à partir d’un rang (que l’on nommera $n_0$ )

1)a) Exprimons le fait que la suite ne soit pas majoré.

Ceci est l’hypothèse 1 : La suite n’est pas majorée .
Que cela veut-il dire ?
Cela veut dire que pour tout entier n , $u_n$ n’est majoré par aucun nombre .

Attendez ? Je prends un nombre très grand = K , il se peut que pour des petites valeurs de n on ait $u_n < K$ mais je suis sur qu’il existe un rang $n_0$ à partir duquel on ait $u_n > K$ .

Un nombre ? Prenons A par exemple 🙂
Notre petite explication se résume ainsi :
Il existe un entier $n_0$ tel que $u_{n_0} > A$ .

On tient [presque] notre i) .

Maintenant on veut que pour tout n , $u_n \in [A, + \infty [$

Notre relation i) est vrai que pour les entiers supérieurs à $n_0$
Soit donc un n un entier supérieur ou égal à $n_0$ .
Ici intervient notre deuxième hypothèse : la suite est croissante d’ou ,
$n \geq n_0 \Rightarrow u_n \geq u_{n_0} > A$ .

On y est .
On a un pris un intervalle au hasard de type $[A, + \infty [$ et l’on a montre qu’il existait un rang n à partir duquel l’on a $u_n \in [A; + \infty [$ .

Conclusion : Une suite majorée et croissante tend vers l’infini .

#majorees, #suites

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Définition d’une suite ayant pour limite l’infini [DSN11]

Un théorème au programme au Bac