mars | 2013 | Mathématiques

Soit $u_n$ une suite définie par récurrence .
Son premier terme $u_0=4$ et sa relation de récurrence $u_{n+1}= \frac{1}{2}*u_n+1$ .
Observons le comportement de cette suite pour n allant de 1 à 4 .
$u_1=\frac{1}{2}*u_0+1=\frac{1}{2}*4+1=3$
$u_2=\frac{1}{2}*u_1+1=\frac{1}{2}*3+1=\frac{5}{2}=2.5$
$u_3=\frac{1}{2}*u_2+1=\frac{1}{2}*2.5+1=2.25$
$u_4=\frac{1}{2}*u_3+1=\frac{1}{2}*2.25+1=2.125$
$u_5=\frac{1}{2}*u_3+1=\frac{1}{2}*2.125+1=2.0625$

Il semble donc que si l’on continue le calcul pour n égal à 5,6,7,8,9,…,infini , les termes $u_5 \ u_6 \ u_7 \ ...$ se rapprochent de 2 .

On énonce cela ainsi : la limite de la suite $u_n$ quand n devient très très très grand est le nombre réel 2.

Ceci a été fait avec Pyhton 3 .

Je cite « Une entreprise fabrique des casseroles de contenance 5L en utilisant le moins de métal possible x désigne le rayon du disque intérieur et H la hauteur de la casserole en centimetre » .

a) Exprimons h en fonction de x .

Rappel de 3ième : Le volume V d’un cylindre de rayon x et de hauteur h vaut : $V= \pi * r^2 *h$
Rappelons aussi que : 1L=1000 cm3 d’ou 5L=5000 cm3=V
d’ou $5000= \pi * x^2 *h$ d’ou $h= \frac{5000}{ \pi * x^2}$

b) on note S(x) la somme de l’aire latérale et de l’aire du disque intérieur en cm². démontrer que $S(x)= \pi * x^2 + \frac{10000}{x}$

Bon , l’aire latérale vaut $Al= 2 * \pi * x *h$ (merci Google) et l’aire du disque intérieur vaut $Ai= \pi * x^2$ leur somme $S(x)= 2 * \pi * x *h + \pi * x^2=2 * \pi * x * \frac{5000}{ \pi * x^2} + \pi * x^2= \frac{10000}{x} + \pi * x^2$

c) Etudier les variations de la fonction S(x) sur $] 0; + \infty [$

Soit $x >0$
S est une fonction dérivable sur $] 0; + \infty [$ et sa dérivée vaut $S'(x)= (\frac{10000}{x})' + (\pi * x^2)'$ sachant que la dérivée de $\frac{1}{x}$ vaut $- \frac{1}{x^2}$ et celle de $x^2$ vaut $2x$ on a donc $S'(x)=- \frac{10000}{x^2} + 2* \pi *x= \frac{-10000 + 2 * \pi * x^3}{x^2}$ ouf’
C’est la ou vous vous dites , damn !!! dans la dérivée y’a un terme en x^3 !!!
pas de panique . Le signe de la dérivée est donné par le numérateur $-10000 + 2 * \pi * x^3$ c’est son signe que l’on doit étudier (en effet le dénominateur $x^2$ est strictement positif) .
Résolvons l’équation d’inconnue x>0 suivante : $-10000 + 2 * \pi * x^3=0$ cela est équivalent à $2 * \pi * x^3 = 10000$ équivalent à $x^3= \frac{10000}{2 * \pi}$ équivalent à $x= \sqrt[3]{\frac{10000}{2*\pi}}$ d’ou x=11.67 à peu près.
Si $x > 11.67$ alors $-10000 + 2 * \pi * x^3 >0$ d’ou $S'(x) > 0$
Si $x < 11.67$ alors $-10000 + 2 * \pi * x^3 <0$ d'ou $S'(x) < 0$
Si $x = 11.67$ alors $-10000 + 2 * \pi * x^3 =0$ d'ou $S'(x) = 0$