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Reprenons , que veut-on dire quand la suite $u_n$ tend vers $l$ quand n devient très grand ?

Pour tout intervalle ouvert contenant $l$ , il existe un rang duquel tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle .

Le problème à chaque fois revient à déterminer ce fameux rang que l’on nomme souvent $n_0$ .

Exemple : Soit une suite $u_n$ ayant pour limite $l$

Cela veut dire que pour tout intervalle ouvert il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont dans cet intervalle .

Soit un intervalle ouvert centré en $l$ et r son rayon .
L’intervalle peut donc s’écrire $]l-r ; l+r[$ .
A partir de quel $n_i$ i=0,1,2,… a-t-on $u_n \in ]l-r , l+r[$

A chaque fois il faudra résoudre l’inéquation d’inconnue $n_i$ : $u_{n_i} < l-r$
Et la on aura notre rang .
En effet , on aura une inégalité du type $n_i > k$ et le rang sera [k]+1 .

Exemple : La suite de l’article précédent $u_n= \frac{2*n+1}{n}$ .
La question était de montrer qu’à partir d’un certain rang à déterminer tous les termes de la suite appartenaient à l’intervalle $]2-r ; 2+r [$ ( avec $r > 0$ )

Résolvons donc l’inéquation $u_{n} < 2- r$
$\frac{2*n+1}{n} < 2-r$
$2*n+1 < 2*n+r*n_0$
$1<r*n$
$\frac{1}{r}< n$

Donc dès que $n> \frac{1}{r}$ on a $u_{n} \in ]2-r;2+r[$

on tient notre rang . Maintenant tous les rangs n supérieurs à $[ \frac{1}{r} ] + 1$ ont leurs termes dans l’intervalle .

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